Zawartość:

• Zestaw 1
• Zestaw 2
• Zestaw 3
• Zestaw 4
• Zestaw 5
• Zestaw 6
• Zestaw 7
• Zestaw 8

Zestaw 1

• dodatkowe, pandemiczne, nagranie z środowych ćwiczeń

• podręcznik na którym zostało oparte nagranie

• dodatkowy podręcznik dostępny online

• The strange cousin of the complex numbers – the dual numbers

  • implementacja liczb dualnych w pythonie
  • przykładowe wykorzystanie znajduje się w if(__name__ == "__main__"):...
  • zachęcam do uzupełnienia katalgu funkcji o nowe

Co oznacza zapis \(s(n) = \sum_{i = 1}^{n} (2 i^2 - 4 i)\)? Znaleźć \(s(3)\), \(s(5)\), \(s(7)\).

Wypisać poniższe sumy dla \(n = 4\):

• \(\sum_{k = 1}^{n} k\)
• \(\sum_{k = 1}^{n} \sin(k x)\)
• \(\sum_{k = 1}^{n} k^2 \sin((k + 2) x)\)

Czym różnią się sumy \(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}\) oraz \(\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k}\)?

Czy w wyrażeniu \(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}^{k}\) można zamienić oznaczenia wszystkich indeksów?

Dowieść metodą indukcji zupełnej:

• \(\sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1) = n^{2}\),
• \(\sum_{k = 1}^{n} a_{1} q^{k - 1}= a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q}\), \(q \ne 1\),
• \(\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)\).

Proszę podać części rzeczywiste i urojone liczb zespolonych:

• \(2 + i\)
• \((2 + i) (3 + 4 i)\)
• \(i^{3}\)
• \((2 - i) / (4 + i)\)

Znaleźć sprzężenia liczb zespolonych z poprzedniego zadania.

Podać moduły i fazy liczb zespolonych:

• \(1\)
• \(-1\)
• \(-i\)
• \(1 + i\)
• \(-2 + \frac{2 \sqrt{3}}{3} i\)
• \(-3 - \sqrt{3} i\)

Wyrazić moduły i fazy liczb zespolonych \(z_{1} z_{2}\) oraz \(z_{1} / z_{2}\) przez moduły i fazy różnych od zera liczb zespolonych \(z_{1}\) i \(z_{2}\).

Policzyć pierwiastki:

• trzeciego stopnia z liczby \(1 - \sqrt{3} i\),
• czwartego stopnia z liczby \(1\),
• drugiego stopnia z liczby \(-15 + 8 i\)

Podać miejsce geometryczne punktów na płaszczyźnie zespolonej spełniających warunek

• \(z^{4} = 1\)
• \(| z | \le 2\)
• \(|z - 1 - i| = 2\)
• \(|z + 2 - i| = |z - 3 + 4i|\)
• \(|z + i| + |z - i| = 4\)
• \(\mid \, |z + i| - |z - i| \mid = \sqrt{2}\)

Pokazać, że zbiór liczb zespolonych o module 1 stanowi grupę ze względu na mnożenie.

Pokazać, że zbiór pierwiastków \(n\)-tego stopnia z \(1\) (czyli zbiór liczb \(z\) o tej własności, że \(z^{n} = 1\), gdzie \(n\) jest liczbą naturalną większą od zera) stanowi grupę ze względu na mnożenie.

Rozwiązać równanie \[z \bar{z} + (z - \bar{z})^{2} = 3 + 2 i\]

Rozwiązać w liczbach zespolonych równania

• \(z^2 + z + 5 = 0\)
• \((5 - 5 i) z^2 - (3 - 2 i) z + 1 = 0\)
• \(z^4 + z^2 + 1 = 0\)

Zestaw 2

• nagranie z zajęć w środę
  • UWAGA: w nagraniu jest kolizja oznaczeń przyrysowaniu pierwiastków na płaszczyźnie zespolonej. Pierwiastki \(\sqrt[3]{z} = x\) są na rysunku oznaczane jako \(z_{0} , z_{1} , z_{2}\) a powinny być raczej \(x_{0} , x_{1} , x_{2}\).

Proszę zrobić niedokończone zadania z poprzednich zajęć. Dodatkowo proszę spróbować wykonać następujące ćwiczenia:

Korzystając reprezentacji liczb zespolonych wykorzystywanej przez Hamiltona w postaci par liczb \((a , b)\) (\(a\) nazywamy częścią rzeczywistą natomiast \(b\) nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej) z dodawaniem zdefiniowanym w postaci:

\[(a , b) + (c , d) = (a + c , b + d)\]

oraz mnożeniem zdefiniowanym w postaci:

\[(a , b) (c , d) = (a c - b d , a d + b c)\]

Proszę sprawdzić:

• równoważność takiej reprezentacji z reprezentacją Eulera (\((a , b) \equiv a + i b\) gdzie \(i\) jest jednostką urojoną)
• przemienność mnożenia
• łączność mnożenia względem dodawania

Korzystając z definicji eksponenty w postaci nieskończonej sumy:

\[e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{n}\]

proszę pokazać, że jeżeli \(\phi\) jest liczbą rzeczywistą to

\[e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)\]

Wskazówka 1:

\[\sin(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2 n - 1)!} x^{2 n - 1}\]

Wskazówka 2:

\[\cos(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n)!} x^{2 n}\]

Korzystając z wyników zadania B proszę policzyć \((\cos(\phi) + i \sin(\phi))^{k}\) zakładając, że \(\phi\) jest liczbą rzeczywistą.

Zestaw 3

Proszę zrobić niedokończone zadania z poprzednich zajęć. Dodatkowo proszę spróbować wykonać następujące ćwiczenia:

Niech \(\epsilon = \cos{\phi} + i \sin{\phi}\). Wiadomo (wzór de Moivre’a), że \(\left( \cos{\phi} + i \sin{\phi} \right)^{k} = \cos{(k \phi)} + i \sin{(k \phi)}\). Policzyć:

\[\sum_{k = 1}^{n - 1} \epsilon^{k} = \frac{\epsilon (1 - \epsilon^{n - 1})}{1 - \epsilon}\]

Wyprowadzić stąd wzory na \(\sum_{k = 1}^{n - 1} \cos{(k \phi)}\) oraz \(\sum_{k = 1}^{n - 1} \sin{(k \phi)}\).

Niech \(\epsilon_{k}\) będzie jednym z pierwiastków n-tego stopnia z 1 (tzn. \(\epsilon_{k}^{n} = 1\)). Policzyć sumę:

\[\sum_{j = 1}^{n - 1} \epsilon_{k}^{j}\]

Wskazówka: wykorzystać jeden z wyników zadania A.

Policzyć sumę

\[\sum_{k = 1}^{n - 1} (k + 1) \epsilon^{k}\]

gdzie \(\epsilon \ne 1\) jest jednym z pierwiastków n-tego stionia z 1.

Policzyć:

• \((1 + i)^{2}\)
• \((1 + i)^{-1}\)
• \((1 + i)^{-4}\)

Wyniki nanieść na płaszczyznę zespoloną i zinterpretować odwołujac się do reguł mnożenia wektorów na płaszczyźnie zdefiniowanych przez Gaussa.

Obliczyć wszystkie wskazane operacje:

• \(\sqrt{1 - i}\)

• \(\sqrt{1 - i \sqrt{3}}\)

• \(\sqrt{\sqrt{\sqrt{1 - i}}}\)

• \(\sqrt{\sqrt{\sqrt{1 + i}}}\)

• \(\left| \frac{1 - i}{1 + i} \right|\)

• \(\left| (1 - i) (1 + i) \right|\)

• \(e^{-i \phi}\)

• \(e^{2 i \phi}\)

gdzie \(\phi\) jest liczbą rzeczywistą.

Czy symbol \(i^{i}\) ma jednoznaczny sens?

Zestaw 4

Proszę zrobić niedokończone zadania z poprzednich zajęć. Dodatkowo proszę spróbować wykonać następujące ćwiczenia:

Policzyć:

\[\sum_{k = 1}^{n} \sin(k \alpha) = Im(\sum_{k = 1}^{n} \exp(i k \alpha))\]

Rozwiązać, używając metody eliminacji Gaussa-Jordana, układ równań:

\[3 x + 5 y + 3 z = 25\] \[7 x + 9 y + 19 z = 65\] \[-4x + 5y + 11 z = 5\]

Napisać macierz współczynników \(A\) dla układu z A równań oraz macierz rozszerzoną o kolumnę wyrazów wolnych \(b\) (macierz dołączoną). Sprawdzić, że

\[A v = b\]

gdzie \(v\) jest wektorem o składowych \((x , y , z)\).

Rozwiązać równanie (znaleźć tzw. całkę szczególną)

\[\frac{d^{2} x(t)}{d t^{2}} - \frac{d x(t)}{d t} - x = \cos(t)\]

Wskazówka: poszukiwać rozwiązań w postaci \(x(t) = a \sin(t) + b \cos(t)\)

Rozwiązać równanie (znaleźć tzw. całkę szczególną)

\[\frac{d^{2} x(t)}{d t^{2}} + \frac{d x(t)}{d t} + x = \cos(t)\]

Wskazówka: poszukiwać rozwiązań w postaci \(x(t) = a \sin(t) + b \cos(t)\)

Znaleźć wielomian trzeciego stopnia \(X(t) = a + b t + c t^{2} + d t^{3}\), o którym wiadomo, że dla \(t = 0 , 1 , 2 , 3\) przybiera wartości \(1 , 2 , 3 , 4\) odpowiednio.

Sprawdzić, że ogół liniowych kombinacji \(\sin(t)\), \(\cos(t)\) (tzn. ogół wyrażeń postaci \(a \sin(t) + b \cos(t)\) gdzie \(a\) i \(b\) są rzeczywiste) tworzy przestrzeń liniową. \(t\) jest parametrem, dowolnym (np. z przedziału \((0 , \pi)\)).

Pokazać, że wektory \(\sin(t)\), \(\cos(t)\) są liniowo niezależne.

Zestaw 5

Proszę zrobić niedokończone zadania z poprzednich zajęć. Dodatkowo proszę spróbować wykonać następujące ćwiczenia:

Przeanalizować istnienie rozwiązań, w zależności od wartości parametru \(k\), stosując metodę Gaussa-Jordana:

\[x + y - z = -2\]

\[3 x - 5 y + 13 z = 18\]

\[ x - 2 y + 5 z = k \]

Policzyć rzędy macierzy współczynników \(A\) oraz uzupełnionej o kolumnę wyrazów wolnych \((A|b)\).

Niech:

\[A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right)\]

\[B = \left( \begin{array}{cc} 0 & i \\ -i & 0 \\ \end{array} \right)\]

\[C =\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)\]

Policzyć iloczyny macierzowe \(A^{2}\), \(B^{2}\), \(C^{2}\) oraz:

\[A B + B A\] \[A B - B A\]

Policzyć \(e^{i \alpha C}\), gdzie \(C\) jest macierzą zdefiniowaną w zadaniu B.

Rozwiązać równania macierzowe (\(X\) jest macierzą kwadratową):

\[X A = 1\]

\[A B + B X = 0\]

Macierze \(A\) i \(B\) jak w zadaniu B.

Znajdź macierz kwadratową \(A\), typu \(3 \times 3\) (3 wiersze i 3 kolumny), jeśli wiadomo, że:

\[A u = b\]

gdzie zadaliśmy wektory:

\[u = \left( 1 , 0 , 0 \right)\]

\[b = \left( 1 , 2 , 3 \right)\]

(\(u\) i \(b\) to kolumny!)

Układ równań w postaci \(A x = 0\) nazywa się jednorodnym.

Uzasadnij, że taki układ ma zawsze rozwiązania.

Pokaż, że jeśli \(Rz(A) = n\), gdzie \(n\) to liczba niewiadomych, to jedynym rozwiązaniem jest \(x_{1} = x_{2} = \ldots = x_{n} = 0\).

Wskazówka: Rzędem \(Rz(A)\) macierzy \(A\) nazywamy liczbę niezerowych skrajych elementów w jej postaci trójkątnej (patrz wykład \(4\)).

Mamy układ równań

\[x + y = 3\]

\[x - y = -1 + k\]

\[2 x + 3 y = 3\]

gdzie \(k\) jest parametrem.

Napisać macierz współczynników \(A\) dla układu równań, oraz macierz \(B\) rozszerzoną o kolumnę wyrazów wolnych (macierz dołączoną).

Policzyć - korzystając wprost z podanej na wykładzie definicji - rzędy obu macierzy. Czy są one równe? Czy układ ten posiada rozwiązania?

Policzyć liczbę liniowo niezależnych kolumn (wierszy) macierzy współczynników \(A\) oraz uzupełnionej o kolumne wyrazów wolnyc (A | b); patrz zadanie A. Porównaać wynik.

Zestaw 6

Proszę zrobić niedokończone zadania z poprzednich zajęć. Dodatkowo proszę spróbować wykonać następujące ćwiczenia:

Sprawdzić czy pierwsza kolumna macierzy:

\[ \left( \begin{array}{ccccc} 30 & 1 & 5 & 9 & -2 \\ -1 & 7 & 6 & 2 & -5 \\ 38 & 1 & 3 & 3 & 4 \\ 56 & 9 & 2 & 5 & 7 \\ 62 & 2 & 8 & 2 & 9 \\ \end{array} \right) \]

da się zapisać jako kombinacja liniowa pozostałych kolumn.

Rzędem macierzy nazywaliśmy liczbę niezerowych granicznych elementów w jej postaci trójkątnej. Policzyć, korzystając z tej definicji i niezależnie z twierdzenia o maksymalnym wymiarze minora macierzy, rzędy powyższej macierzy.

Pokazać, że wyznacznik macierzy, w której wszystkie elementy ponad- (lub poniżej-) diagonalne są równe zeru, tj. \(a_{ij} = 0\) dla \(i > j\) (\(i < j\)), jest równy iloczynowi \(a_{11} a_{22} a_{33} \ldots a_{nn}\) elementów diagonalnych.

Proszę policzyć wyznacznik następującej macierzy:

\[ \left( \begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 0 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 3 & 4 & 4 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 \\ \end{array} \right) \]

Macierze kwadratowa \(A\) o \(n\) wierszach jest \(\lambda\)- krotnością macierzy \(B\), to znaczy \(A = \lambda B\). Pokazać, że \(det(A) = \lambda^{n} det(B)\).

Znaleźć liczbę \(x\) taką, że macierz \(A\) poniżej ma nie zerowy wyznacznik \(det(A)\).

\[A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & x & 7 \\ 8 & 9 & 8 & 7 \\ 0 & 0 & 6 & 5 \\ \end{array} \right) \]

Niech:

\[ \hat{e}_{1} \equiv (1 , 1 , 1)^{T} \]

\[ \hat{e}_{2} \equiv (1 , -1 , 1)^{T} \]

\[ \hat{e}^{T}_{3} \equiv (1 , 3 , 1) \]

Znak \(^{T}\) oznacza operację transponowania.

• Sprawdzić, czy te wektory są liniowo niezależne.

• Czy można zapisać wektor \(\hat{z} = (1 , 1 , 1)^{T}\) jako liniową kombinację wektorów \(\hat{e}_{2}\) i \(\hat{e}_{3}\)

Zestaw 7

Pokazać, że zbiór macierzy o \(j\) wierszach i \(k\) kolumnach, z operacjami dodawania i mnożenia przez liczbę rzeczywistą, tworzy przestrzeń liniową.

Macierz kwadratową spełniającą warunek \(A^{T} = -A\) nazywa się antysymetryczną. Udowodnić, że jeśli liczba kolumn tej macierzy jest liczba nieparzystą, to macierz ma wyznacznik \(det(A) = 0\).

Czy taki sam fakt zachodzi dla antysymetrycznych macierzy o parzystej liczbie kolumn?

Znaleźć macierze odwrotne do:

• \(\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right)\)

• \(\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 6 & 6 \\ \end{array} \right)\)

Pokazać, wykorzystując twierdzenie Kroneckera-Capellego, że poniższy układ równań nie ma rozwiązań dla parametru \(\lambda \ne 0\):

\[x + y + z = 3\]

\[x - y + z = 1 + \lambda\]

\[x + 3 y + z = 5\]

Rozważyć istnienie rozwiązań i znaleźć je, dla układu równań liniowych:

\[-\lambda x + y + z = 0\]

\[x - \lambda y + z = 0\]

\[2 x + (1 - \lambda) y + (1 - \lambda) z = 0\]

Sprawdzić rozwiązywalność liniowego układu algebraicznego:

\[x + y + z = 3\]

\[x - y - z = -1\]

\[2 x - 2 y - 2 z = \lambda - 2\]

\[x + 3 y + 3 z = 7\]

Znaleźć rozwiązania, jeśli istnieją.

Sprawdzić, wykorzystując twierdzenie kroneckera-Capellego, czy poniższy układ równań ma rozwiązania:

\[x + y + z = 3\]

\[x - y + z = 2 + \lambda\]

\[x + 3 y + z = 5\]