Zawartość:

• Zestaw 1
• Zestaw 2
• Zestaw 3
• Zestaw 4

Zestaw 1

Proszę zainstalować i uruchomić program Mathematica.

Korzystająć z notebooka proszę zaimplementować ciąg liczb Fibonacciego \(0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21, \ldots\).

Zestaw 2

W razie kłopotów:

• Evaluation - Quit Kernel - Local resetuje jądro mathematici. Wszystkie definicje zmiennych, funkcji, … zostaną usunięte.
• Evaluation - Abort Evaluation przerywa aktualnie wykonywane zadanie

Ostatnie twierdzenie Fermata:

• wiki, youtube

Szablony, wzrce: Help - Wolfram Documentation i w okienku:

• guide/Patterns
• tutorial/Patterns

Zadanie A:

• proszę dokładnie :-) przyjrzeć się wszystkim rozdziałom dokumentacji
  

FullSimplify

Notebook z zajęć 11 X, aby uruchomić wszystkie komórki wystarczy w menu wybrać Evaluate - Evaluate Notebook:

• notebook

Notebook z zajęć 18 X, aby uruchomić wszystkie komórki wystarczy w menu wybrać Evaluate - Evaluate Notebook:

• notebook

Proszę, z wykorzystaniem funkcji

FullSimplify

sprawdzić czy istnieją liczby całkowite \(x\) , \(y\) , \(z\) oraz \(n\), które spełniają:

• \(x^n + y^n = z^n\)
• \(n > 2\)
• \(x y z \ne 0\) (żadna z tych liczb nie jest równa 0)

Proszę skonstruować krótki dowód wyniku z zadania A. Zeskanowane wyprowadzienie można mi wysłać pocztą elektroniczną.

Proszę z wykorzystaniem funkcji

If

zaimplementować funkcję \(f(x , y)\), która przyjmuje wartość \(1\) gdy punkt \((x , y)\) wpada w dwu-wymiarowy pierścień o zewnętrznym promieniu \(1\) oraz wewnętrznym promieniu \(\frac{1}{2}\) ze środkiem w środku układu współrzędnych. W przeciwnym wypadku funkcja przyjmuje wartość \(0\). Proszę tą funkcję narysować z wykorzystaniem

RegionPlot

Korzystając z funkcji:

Import

oraz

Cases

Proszę napisać program który:

• pobierze ze strony plik CSV zawierający dane dotyczące liczby potwierdzonych przypadków
  • można skopiować link https://github.com/CSSEGISandData/COVID-19/raw/master/csse_covid_19_data/csse_covid_19_time_series/time_series_covid19_confirmed_global.csv
  • wykorzystać go w funkcji

  Import

• zwróci wykres nowych przypadków dla Polski z ostatnich czterech tygodni

Korzystając z

Manipulate

proszę napisać program, który będzie manipulował wykresem funkcji \(f(x) = exp(x) sin(4 x)\). Implementacja powinna pozwalać na wykonanie operacji:

• przesunięcia wykresu funkcji w górę lub dół
• przesunięcia wykresu funkcji w lewo lub prawo
• odbicie funkcji względem osi pionowej
• odbicie funkcji względem osi posiomej

Zestaw 3

Naszym celem będzie stworzenie animacji ilustrującej rosnące nasiona, np słonecznika:

• ciekawy artykuł z którego pochodzi algorytm

Pierwszy krok to skonstruowanie funkcji rysującej pojedyncze nasionko. Załóżmy, że nasiono ma trzy atrybuty:

• współrzędną x
• współrzędną y
• rozmiar nasionka s

Taki obiekt można reprezentować trzy elementową listą:

{x , y , s}

Proszę zaimplementować funkcję:

draw[{x_ , y_ , s_}] := ...

zwracającą listę (ewentualnie zagnieżdżoną listę) wyrażeń (Disk[...], Circle[...], Gray[...], …) opisującydh rysunek nasiona (narazie nie wrzucamy tej listy jeszcze do Graphics). Przykładowo

draw[{1.0 , 2.0 , 0.1}]

mogłoby zwracać:

Circle[{1.0 , 2.0} , 0.1]

Proszę zaimplementować funkcję:

grow[{x_ , y_ , s_}] := ...

zwracającą nową listę atrybutów nasiona. Rozmiar nasiona w nowej liście powinien wynosić mul s, gdzie mul = 1.01 dodatkowo zdefiniowaną zmienną.

Proszę zaimplementować funkcję:

expand[{x_ , y_ , s_}] := ...

zwracającą nową listę atrybutów nasiona. Tym razem przesuwamy położenie środka nasionka. Nowe położenie powinno mieć współrzędne mul x oraz mul y, gdzie \(mul\) jest zmienną zdefiniowaną w zadaniu B.

Proszę zaimplementować funkcję:

rotate[{x_ , y_ , s_}] := ...

zwracającą nową listę atrybutów nasiona. Tym razem obracamy nasionko względem środka układu współrzędnych. Kąt obrotu powininen wynosić \(\alpha = 2 \pi \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\). Można wykorzystać funkcję RotationTransform.

Proszę zaimplementować funkcję:

singleIteration[seeds_] := ...

gdzie seeds jest listą nasionek, np:

{ { 0.01 , 0.0 , 0.01 } , { 0.02 , 0.01 , 0.013 } }

a wartość zwracana zawiera dodatkowe nasionko. To dodatkowe nasionko powstaje z pierwszego nasiona w seeds poprzez aplikację wcześniej zdefiniowanych funkcji grow, expand, rotate.

Korzystająć z funkcji Nest oraz Graphics proszę stworyć obrazek z \(5\) nasionkami. Można założyć, że pierwsze nasiono ma atrybuty:

{0.01 , 0.0 , 0.12 * 0.01}

Pod koniec zajęć spróbujemy to rozszerzyć i stworzyć animację.

Zestaw 4

• notebook z 8 XI 2022

Korzystając z funkcji Solve proszę znaleźć wszystkie trójki pitagorejskie, których wartości są mniejsze lub równe \(200\). Trójki pitagorejskie to liczby całkowite \(x\), \(y\), \(z\) spełniające równanie pitagorasa \(x^{2} + y^{2} = z^{2}\).

Korzystając z wyniku zadania A oraz funkcji Histogram proszę narysować histogram wartości “przyprostokątnych” (\(x\), \(y\)). Szerokość pojedynczego binu histogramu niech wynosi \(10\). Wysokości słupków niech oznacza prawdopodobieństwo trafienia w bin. Dodatkowo proszę opisać rysunek oraz zmienić kolor słupków na inny niż domyślny.

Wskazówka: mogą się przydać funkcje Flatten oraz ReplaceAll (pisane w skrócie jako operator /.). Dodatkowo proszę uważnie przeczytać dokumentację funkcji Histogram.

Korzystająć z:

NSolve

proszę znaleźć wartści \(x\) dla których zachodzi:

• \(f(x) = 0\), gdzie \(f(x) = \frac{\sin{x^{2}}}{x^{2}}\)
• \(x < 2 \pi\)
• \(x > 0\)

Korzystając z funkcji

Plot

oraz opcjonalnych argumentów:

GridLines -> ... ,
PlotStyle -> ... ,
Frame -> ... ,
Axes -> ... ,
FrameLabel -> ...

Proszę narysować wykres funkcji \(f(x)\) z zadania A w przedziale o \(0\) do \(2 \pi\). Wykres powinien:

• być narysowany czerwoną linią
• zawierać pionowe linie w miejscach gdzie w A wyliczono \(f(x) = 0\)
• zamiast osi posiadać ramkę
• zawiera opis pionowej oraz poziomej osi na ramce

Korzstając z funkcji NIntegrate proszę policzyć powierzchnię dwu wymiarowego pierścienia, którego mniejszy promień wynosi \(0.5\) a większy promień \(1.0\). Proszę ten pierścień narysować korzystając z funkcji DensityPlot.

Wskazówka: wystarczy policzyć dwu-wymiarową całkę z funkcji isIn[x , y], która przybiera wartość \(1\) gdy \((x , y)\) wpada w pierścień oraz \(0\) gdy \((x , y)\) jest poza pierścieniem. Funkcję isIn można również wykorzystać w funkcji DensityPlot.

Proszę przeprowadzić rachunek z zadania E wykorzystując Integrate. Wynik proszę porównać z zadaniem E oraz powierzchnią pierścienia policzoną analitycznie (znamy wzór na powierzchnię koła).

Na kolejnych zajęciach poznamy podstawy pisania tekstów oraz prezentacji z wykorzystaniem systemu LaTeX i będziemy korzystać z Overleaf. Proszę spróbować założyć sobie darmowe konto na serwisie Overleaf.