Zestawy zadań
.jpg)
Zawartość:
Zestaw 1
dodatkowe, pandemiczne, nagranie z środowych ćwiczeń
podręcznik na którym zostało oparte nagranie
dodatkowy podręcznik dostępny online
The strange cousin of the complex numbers – the dual numbers
- implementacja liczb dualnych w pythonie
- przykładowe wykorzystanie znajduje się w
if(__name__ == "__main__"):... - zachęcam do uzupełnienia katalgu funkcji o nowe
Co oznacza zapis \(s(n) = \sum_{i = 1}^{n} (2 i^2 - 4 i)\)? Znaleźć \(s(3)\), \(s(5)\), \(s(7)\).
Wypisać poniższe sumy dla \(n = 4\):
- \(\sum_{k = 1}^{n} k\)
- \(\sum_{k = 1}^{n} \sin(k x)\)
- \(\sum_{k = 1}^{n} k^2 \sin((k + 2) x)\)
Czym różnią się sumy \(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}\) oraz \(\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k}\)?
Czy w wyrażeniu \(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}^{k}\) można zamienić oznaczenia wszystkich indeksów?
Dowieść metodą indukcji zupełnej:
- \(\sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1) = n^{2}\),
- \(\sum_{k = 1}^{n} a_{1} q^{k - 1}= a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q}\), \(q \ne 1\),
- \(\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)\).
Proszę podać części rzeczywiste i urojone liczb zespolonych:
- \(2 + i\)
- \((2 + i) (3 + 4 i)\)
- \(i^{3}\)
- \((2 - i) / (4 + i)\)
Znaleźć sprzężenia liczb zespolonych z poprzedniego zadania.
Podać moduły i fazy liczb zespolonych:
- \(1\)
- \(-1\)
- \(-i\)
- \(1 + i\)
- \(-2 + \frac{2 \sqrt{3}}{3} i\)
- \(-3 - \sqrt{3} i\)
Wyrazić moduły i fazy liczb zespolonych \(z_{1} z_{2}\) oraz \(z_{1} / z_{2}\) przez moduły i fazy różnych od zera liczb zespolonych \(z_{1}\) i \(z_{2}\).
Policzyć pierwiastki:
- trzeciego stopnia z liczby \(1 - \sqrt{3} i\),
- czwartego stopnia z liczby \(1\),
- drugiego stopnia z liczby \(-15 + 8 i\)
Podać miejsce geometryczne punktów na płaszczyźnie zespolonej spełniających warunek
- \(z^{4} = 1\)
- \(| z | \le 2\)
- \(|z - 1 - i| = 2\)
- \(|z + 2 - i| = |z - 3 + 4i|\)
- \(|z + i| + |z - i| = 4\)
- \(\mid \, |z + i| - |z - i| \mid = \sqrt{2}\)
Pokazać, że zbiór liczb zespolonych o module 1 stanowi grupę ze względu na mnożenie.
Pokazać, że zbiór pierwiastków \(n\)-tego stopnia z \(1\) (czyli zbiór liczb \(z\) o tej własności, że \(z^{n} = 1\), gdzie \(n\) jest liczbą naturalną większą od zera) stanowi grupę ze względu na mnożenie.
Rozwiązać równanie \[z \bar{z} + (z - \bar{z})^{2} = 3 + 2 i\]
Rozwiązać w liczbach zespolonych równania
- \(z^2 + z + 5 = 0\)
- \((5 - 5 i) z^2 - (3 - 2 i) z + 1 = 0\)
- \(z^4 + z^2 + 1 = 0\)
Zestaw 2
- nagranie
z zajęć w środę
- UWAGA: w nagraniu jest kolizja oznaczeń przyrysowaniu pierwiastków na płaszczyźnie zespolonej. Pierwiastki \(\sqrt[3]{z} = x\) są na rysunku oznaczane jako \(z_{0} , z_{1} , z_{2}\) a powinny być raczej \(x_{0} , x_{1} , x_{2}\).
Proszę zrobić niedokończone zadania z poprzednich zajęć. Dodatkowo proszę spróbować wykonać następujące ćwiczenia:
Korzystając reprezentacji liczb zespolonych wykorzystywanej przez Hamiltona w postaci par liczb \((a , b)\) (\(a\) nazywamy częścią rzeczywistą natomiast \(b\) nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej) z dodawaniem zdefiniowanym w postaci:
\[(a , b) + (c , d) = (a + c , b + d)\]
oraz mnożeniem zdefiniowanym w postaci:
\[(a , b) (c , d) = (a c - b d , a d + b c)\]
Proszę sprawdzić:
- równoważność takiej reprezentacji z reprezentacją Eulera (\((a , b) \equiv a + i b\) gdzie \(i\) jest jednostką urojoną)
- przemienność mnożenia
- łączność mnożenia względem dodawania
Korzystając z definicji eksponenty w postaci nieskończonej sumy:
\[e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{n}\]
proszę pokazać, że jeżeli \(\phi\) jest liczbą rzeczywistą to
\[e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)\]
\[\sin(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2 n - 1)!} x^{2 n - 1}\]
\[\cos(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n)!} x^{2 n}\]
Korzystając z wyników zadania B proszę policzyć \((\cos(\phi) + i \sin(\phi))^{k}\) zakładając, że \(\phi\) jest liczbą rzeczywistą.
Zestaw 3
Proszę zrobić niedokończone zadania z poprzednich zajęć. Dodatkowo proszę spróbować wykonać następujące ćwiczenia:
Niech \(\epsilon = \cos{\phi} + i \sin{\phi}\). Wiadomo (wzór de Moivre’a), że \(\left( \cos{\phi} + i \sin{\phi} \right)^{k} = \cos{(k \phi)} + i \sin{(k \phi)}\). Policzyć:
\[\sum_{k = 1}^{n - 1} \epsilon^{k} = \frac{\epsilon (1 - \epsilon^{n - 1})}{1 - \epsilon}\]
Wyprowadzić stąd wzory na \(\sum_{k = 1}^{n - 1} \cos{(k \phi)}\) oraz \(\sum_{k = 1}^{n - 1} \sin{(k \phi)}\).
Niech \(\epsilon_{k}\) będzie jednym z pierwiastków n-tego stopnia z 1 (tzn. \(\epsilon_{k}^{n} = 1\)). Policzyć sumę:
\[\sum_{j = 1}^{n - 1} \epsilon_{k}^{j}\]
Wskazówka: wykorzystać jeden z wyników zadania A.
Policzyć sumę
\[\sum_{k = 1}^{n - 1} (k + 1) \epsilon^{k}\]
gdzie \(\epsilon \ne 1\) jest jednym z pierwiastków n-tego stionia z 1.
Policzyć:
- \((1 + i)^{2}\)
- \((1 + i)^{-1}\)
- \((1 + i)^{-4}\)
Wyniki nanieść na płaszczyznę zespoloną i zinterpretować odwołujac się do reguł mnożenia wektorów na płaszczyźnie zdefiniowanych przez Gaussa.
Obliczyć wszystkie wskazane operacje:
\(\sqrt{1 - i}\)
\(\sqrt{1 - i \sqrt{3}}\)
\(\sqrt{\sqrt{\sqrt{1 - i}}}\)
\(\sqrt{\sqrt{\sqrt{1 + i}}}\)
\(\left| \frac{1 - i}{1 + i} \right|\)
\(\left| (1 - i) (1 + i) \right|\)
\(e^{-i \phi}\)
\(e^{2 i \phi}\)
gdzie \(\phi\) jest liczbą rzeczywistą.
Czy symbol \(i^{i}\) ma jednoznaczny sens?
Zestaw 4
Proszę zrobić niedokończone zadania z poprzednich zajęć. Dodatkowo proszę spróbować wykonać następujące ćwiczenia:
Policzyć:
\[\sum_{k = 1}^{n} \sin(k \alpha) = Im(\sum_{k = 1}^{n} \exp(i k \alpha))\]
Rozwiązać, używając metody eliminacji Gaussa-Jordana, układ równań:
\[3 x + 5 y + 3 z = 25\] \[7 x + 9 y + 19 z = 65\] \[-4x + 5y + 11 z = 5\]
Napisać macierz współczynników \(A\) dla układu z A równań oraz macierz rozszerzoną o kolumnę wyrazów wolnych \(b\) (macierz dołączoną). Sprawdzić, że
\[A v = b\]
gdzie \(v\) jest wektorem o składowych \((x , y , z)\).
Rozwiązać równanie (znaleźć tzw. całkę szczególną)
\[\frac{d^{2} x(t)}{d t^{2}} - \frac{d x(t)}{d t} - x = \cos(t)\]
Wskazówka: poszukiwać rozwiązań w postaci \(x(t) = a \sin(t) + b \cos(t)\)
Rozwiązać równanie (znaleźć tzw. całkę szczególną)
\[\frac{d^{2} x(t)}{d t^{2}} + \frac{d x(t)}{d t} + x = \cos(t)\]
Wskazówka: poszukiwać rozwiązań w postaci \(x(t) = a \sin(t) + b \cos(t)\)
Znaleźć wielomian trzeciego stopnia \(X(t) = a + b t + c t^{2} + d t^{3}\), o którym wiadomo, że dla \(t = 0 , 1 , 2 , 3\) przybiera wartości \(1 , 2 , 3 , 4\) odpowiednio.
Sprawdzić, że ogół liniowych kombinacji \(\sin(t)\), \(\cos(t)\) (tzn. ogół wyrażeń postaci \(a \sin(t) + b \cos(t)\) gdzie \(a\) i \(b\) są rzeczywiste) tworzy przestrzeń liniową. \(t\) jest parametrem, dowolnym (np. z przedziału \((0 , \pi)\)).
Pokazać, że wektory \(\sin(t)\), \(\cos(t)\) są liniowo niezależne.