Zestawy zadań

Zawartość:

Ocenianie

Zestaw 1

MATERIAŁY DODATKOWE

Tworzenie skryptu, metoda 1 (prostsza):

Tworzenie skryptu, metoda 2 (linux ale bardziej uniwersalna w tym systemie):

Kilka przykładowych skryptów:

Kilka chaotycznych notebooków z zajęć (polecam zaglądnąć najpierw do materiałów profesora Jacka Golaka):

A
(1 punkt)

Proszę zainstalować i uruchomić program Mathematica.

B
(2 punkty)

Korzystająć z notebooka proszę zaimplementować ciąg liczb Fibonacciego \(0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21, \ldots\).

C
(2 punkty)

Korzystając z implementacji z zadania B proszę stworzyć uruchamialny skrypt. Skrypt powinien z linii poleceń pobierać pojedyńczy argument, liczbe wyrazów w ciągu Fibonacciego. Państwa program powinien następnie wypisywać na ekranie odpowiednią liczbę początkowych wyrazów tego ciągu.

Zestaw 2

MATERIAŁY DODATKOWE

W razie kłopotów:

Ostatnie twierdzenie Fermata:

Szablony, wzrce: Help - Wolfram Documentation i w okienku:

Chaotyczny notebook z zadań (lepiej przyjrzeć się wykładowi profesora):

Zadanie A:

FullSimplify

Liczenie objetości bąbelków (proszę zajrzeć równiez do drugiego wykładu profesora):

Notebooki z zajęć 13 X, aby uruchomić wszystkie komórki wystarczy w menu wybrać Evaluate - Evaluate Notebook:

A
(2 punkt)

Proszę, z wykorzystaniem funkcji

FullSimplify

sprawdzić czy istnieją liczby całkowite \(x\) , \(y\) , \(z\) oraz \(n\), które spełniają:

B
(1 punkt)

Proszę skonstruować krótki dowód wyniku z zadania A. Zeskanowane wyprowadzienie można mi wysłać pocztą elektroniczną.

C
(2 punkt)

Proszę z wykorzystaniem funkcji

If

zaimplementować funkcję \(f(x , y)\), która przyjmuje wartość \(1\) gdy punkt \((x , y)\) wpada w dwu-wymiarowy pierścień o zewnętrznym promieniu \(1\) oraz wewnętrznym promieniu \(\frac{1}{2}\) ze środkiem w środku układu współrzędnych. W przeciwnym wypadku funkcja przyjmuje wartość \(0\). Proszę tą funkcję narysować z wykorzystaniem

RegionPlot
D
(2 punkt)

Korzystając z funkcji:

Integrate

proszę policzyć pole pierścienia z zadania C. Wskazówka: Całka \(f(x , y)\) po \(x\) oraz \(y\) w zakresie od \(-1\) do \(1\) zwróci pole koła. Dlaczego?

E
(2 punkt)

Ciało o masie \(1\) kg porusza się po trajektorii \(r(t)\) zaimplementowanej jako:

(*t - czas w sekundach*)
(*{x , y} - zwracana pozycja w metrach*)
r[t_] := {Cos[t] , Sin[t]};

Proszę policzyć jaka siła musi działać na to ciało jeżeli założymy, że porusza się ono zgodnie z zasadami Newtona. Można w tym celu wykrozystać funkcję:

D

Proszę skonstruować funkcję, która dla zadanego czasu będzie zwracała graficzną reprezentację ciała oraz działającej na niego siły.

F
(2 punkt)

Korzystając z funkcji:

Import

oraz

Cases

Proszę napisać program który:

G
(2 punkt)

Korzystająć z definicji pochodnej oraz funkcji:

Limit

Proszę policzyc pochodne \(f'(x)\) następujacych funkcji:

H
(2 punkt)

Korzystając z

Manipulate

proszę napisać program, który będzie manipulował wykresem funkcji \(f(x) = exp(x) sin(4 x)\). Implementacja powinna pozwalać na wykonanie operacji:

Zestaw 3

METRIAŁY DODATKOWE
A
(2 punkt)

Korzystająć z:

NSolve

proszę znaleźć wartści \(x\) dla których zachodzi:

B
(2 punkt)

Korzystając z funkcji

Plot

oraz opcjonalnych argumentów:

GridLines -> ... ,
PlotStyle -> ... ,
Frame -> ... ,
Axes -> ... ,
FrameLabel -> ...

Proszę narysować wykres funkcji \(f(x)\) z zadania A w przedziale o \(0\) do \(2 \pi\). Wykres powinien:

C
(2 punkt)

Proszę wprowadzić definicje dwóch macierzy w postaci zagnieżdżonych list:

\[ A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) \]

\[ B = \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) \]

oraz sprawdzić z wykorzystaniem funkcji

Dot

ile wynoszą iloczyny macierzy:

gdzie \(a_{1}\), \(b_{1}\), \(a_{2}\), \(b_{2}\) są liczbami rzeczywistymi. Czy można te wyniki wykorzystać do reprezentacji liczb zespolonych? Dlaczego?

D
(1 punkt)

Proszę powtórzyć rachunki z zadania C dla macierzy:

\[ A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right) \]

\[ B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) \]

E
(2 punkt)

Liczenie eksponenty liczby \(x\): \[ e^{x} \] można uogólnić do macierzy z wykorzystaniem rozwinięcia \[ e^{x} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} = 1 + x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} x^{3} + \ldots \] oraz zastępując mnożenie, mnożeniem macierzowym. W Mathematice eksponentę z macierzy można policzyć wykorzystując:

MatrixExp

Proszę:

Jak ten wynik ma się do liczb zespolonych?

F
(3 punkt)

Proszę wykorzystać wzorzec:

f[c_][z_] := ...

aby zaimplementować funkcję \[ f_{c}(z) = z^{2} + c \]

Następnie, korzystając z wzorca:

k[n_][c_] := ...

funkcji:

Nest

oraz implementacji funkcji \(f\) proszę zaimplementować funkcję \(k_{n}(c)\) która dla danej liczby zespolonej \(c\) oraz początkowej liczby zespolonej \(z_{0} = 0\) wielokrotnie aplikuje funkcję \(f\):

\[k_{1}(c) = f_{c}(z_{0})\] \[k_{2}(c) = f_{c}(f_{c}(z_{0}))\] \[k_{3}(c) = f_{c}(f_{c}(f_{c}(z_{0})))\] \[\ldots\]

Wykorzystując

RegionPlot
Abs

proszę narysować funkcję \(1 / |k_{5}(x + i y)|\) gdzie \(-2 < x < 1\) oraz \(-1.5 < y < 1.5\). Co otrzymujemy? Czy można \(1/||\) zastąpić inną funkcją?

G
(2 punkt)

Wykorzystując

Limit

proszę policzyć granice (WSKAZÓWKA: proszę zajrzeć do dokumentacji ;-) :

oraz narysować wykres funkcji \(\frac{|x|}{\sin x}\).

H
(2 punkt)

Proszę wykonać zadanie A biorąc pochodną funkcji \(f(x)\), \(f'(x)\), zamiast \(f(x)\).

I
(2 punkt)

Wykorzystując

DiscretePlot
DiscreteLimit

proszę narysować wykres funkcji: \[ f(k) = \sin(k \pi / 16) / k \] , gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, oraz znaleźć jej granicę przy \(k \rightarrow \infty\).